TASAS RELACIONADAS

Un problema de Tasas de Variación Relacionadas es aquel que involucra tasas de variación de variables relacionadas. En aplicaciones del mundo real que implican tasas de variación relacionadas, las variables tienen una relación específica para valores de t, donde t, es una medida de tiempo. En general, esta relación se expresa mediante una ecuación, la cual representa un modelo matemático. Si una cantidad y es una función del tiempo t, la razón de cambio de y con respecto al tiempo está dada por dy/dt.  Cuando dos o más cantidades, todas funciones del tiempo t, están relacionadas por una ecuación, la relación de sus razones de cambio puede hallarse derivando ambos lados de la ecuación.

"EJEMPLOS EN VÍDEO"

EJEMPLOS:

1. Se está llenando un depósito cónico apoyado en su vértice a razón de 9 litros por segundo. Sabiendo que la altura del depósito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, ¿con qué rapidez se eleva el nivel del agua cuando ha alcanzado una profundidad de 6 metros?

2. Hallar el volumen del cilindro circular recto más grande que puede inscribirse en un cono circular recto de altura H y radio R conocidos.

3. A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 25 litros por segundo. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

4. El volumen de un cubo está aumentando a razón de 70 cm3 por minuto. ¿Con qué rapidez está aumentando el área cuando la longitud del lado es de 12 cm?

5. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia el norte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del océano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que las distancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: ¿A qué velocidad se acercan (o se alejan) los barcos entre sí cuando ha transcurrido una hora? ¿Y cuando han transcurrido 2 horas? ¿En qué momento están más próximos uno de otro?

OPTIMIZACIÓN

En matemáticas, estadísticas, ciencias empíricas, ciencia de la computación, o economía, optimización matemática (o bien, optimización o programación matemática) es la selección del mejor elemento (con respecto a algún criterio) de un conjunto de elementos disponibles.

En el caso más simple, un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función real eligiendo sistemáticamente valores de entrada (tomados de un conjunto permitido) y computando el valor de la función. La generalización de la teoría de la optimización y técnicas para otras formulaciones comprende un área grande de las matemáticas aplicadas. De forma general, la optimización incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna función objetivo dado un dominio definido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios.

"Vea los siguientes ejemplos en vídeo para entender mejor"

EJEMPLOS:

1. Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima.

2. Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo.

3. Se proyecta un jardín en forma de sector circular de radio r y ángulo central q. El área del jardín ha de ser A fija.

¿Qué valores de r y q hacen mínimo el perímetro del jardín?

4. Se corta un alambre de longitud L formando un círculo con uno de los trozos y un cuadrado con el otro. Calcular por dónde se debe cortar para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima o sea mínima.

5.  Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las 2 horas y las 6 horas de la tarde viene dada por:

v(t) = t^3 - 15t^2 + 72t + 8 para t€[2,6]

¿A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?

¿A qué hora circulan los coches con menor velocidad?

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